Laplace算子在球坐标系下表示的记忆方法

前言

在物理的学习中，我们经常会遇见Laplace算子，而它在球坐标系下的表示可以说是非常让人头疼了，尽管日常使用时可以查询，或者在大量使用的情况下能记住，不过我个人更倾向于带有思考的记忆，这样即使在考试或突发状况下也能心安理得地写出。为此，我们需要对这个问题进行拆解。

球坐标系

我们知道，在空间直角坐标系下Laplace算子的表达相对是很简洁的，因此我们首先需要知道球坐标系改变了什么，为此不妨把两个坐标系放在一起考量

直角坐标系	球坐标系
空间被均匀分割	空间的分割不均匀

梯度

我们不着急直接写出Laplace算子，先从较为简单的梯度入手

散度

Laplace算子

总结

思考题

我们已经讨论过了梯度和散度在球坐标下的表示，而旋度也是比较令人头疼的一位,它同样可以通过上述的方式进行记忆，不妨尝试一下！

参考

球坐标系中的偏微分算符 - 小时百科 $$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\cdot (A\hat{\rho }+B\hat{\theta }+C\hat{\phi })=\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial }{\partial \rho }({\rho }^{2}A)+\frac{1}{\rho \sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta B)+\frac{1}{\rho \sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }(C)\\ & \mathrm{\nabla }\cdot (A\hat{\rho }+B\hat{\theta }+C\hat{\phi })=\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial }{\partial \rho }({\rho }^{2}A)+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial (\rho \theta )}(\sin \theta B)+\frac{\partial }{\partial (\rho \sin \theta \phi )}(C)\\ & \mathrm{\nabla }\cdot (A\hat{\rho }+B\hat{\theta }+C\hat{\phi })=\frac{1}{{\rho }^2\sin \theta \mathrm{\Delta }\theta \mathrm{\Delta }\phi }\frac{\partial }{\partial \rho }({\rho }^2\sin \theta \mathrm{\Delta }\theta \mathrm{\Delta }\phi A)+\frac{1}{\mathrm{\Delta }\rho \rho \sin \theta \mathrm{\Delta }\phi }\frac{\partial }{\rho \partial (\theta )}(\mathrm{\Delta }\rho \rho \sin \theta \mathrm{\Delta }\varphi B)+\frac{1}{\rho \mathrm{\Delta }\theta \mathrm{\Delta }\rho }\frac{\partial }{\rho \sin \theta \partial (\phi )}(\rho \mathrm{\Delta }\theta \mathrm{\Delta }\rho C)\end{array}$$